Gap non-standard

Késako ?

Voici un jeu, intitulé « gap non-standard », qui permet de détecter si votre interlocuteur a un entendement non-standard, ou - et c'est peut-être la même chose - si c'est en secret un théoricien ou une théoricienne des ensembles.

C'est un jeu à deux joueurs, Alice et Bob, jouant tour à tour. Au -ième tour, Alice définit un ordinal , puis Bob propose un ordinal , avec comme contraintes que

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Alice perd la partie au -ième tour si Bob lui soumet une stratégie gagnante avec garantie qu'en au plus un nombre déterminé de tours après le -ième, Alice ne pourra pas prolonger sa suite en respectant les contraintes (c'est-à-dire qu'on aura nécessairement pour un certain ).

Bob perd la partie s'il abandonne ou meurt de soif.

Exemple. Alice joue le nombre ;

Bob joue ;

Alice joue ;

Bob joue ;

Alice joue ;

Bob joue ;

Alice joue .

Bob propose alors la stratégie gagnante suivante:

Si Alice vient de jouer

où , alors Bob jouera

où est le prédécesseur de dans pour l'ordre lexicographique qu'il faut. Bob annonce avec preuve qu'Alice aura perdu en au plus tours supplémentaires.

Question 1. Existe-t-il une stratégie gagnante pour Bob? L'ordinal étant fixé, existe-t-il une stratégie gagnante pour Bob? Si non, quel est donc le plus petit ordinal pour lequel Bob ne dispose d'aucune stratégie gagnante?

Question 2. Existe-t-il une stratégie gagnante pour Alice?

Question 3. Que vaut le plus petit choix possible de pour Bob en fonction de ?

Remarque. Je n'ai jamais perdu à gap non-standard.